Zu 1.) Kontrollieren Sie in der Administration, ob dem Moderator auch in dessen Einstellungen der Rang des Moderators gewählt ist (Benutzer => Benutzer auflisten => grünes Stift-Symbol zur Bearbeitung bei dem Benutzer-Namen anklicken => Persönliche Daten => Häkchen unten bei "Moderator").

Zu 2.) Normalerweise sollte die Zutrittsberechtigung für Gäste in der Administration (Benutzer => Benutzergruppen => "Gäste" => Forum) konfiguriert werden können (Kann Foren sehen / Kann Foren betreten / Kann Themen lesen) - bin aber leider überfragt, warum das im vorliegenden Fall nicht funktioniert.

Übrigens:
Bitte der Übersichtlichkeit des hiesigen Forums zuliebe nicht Fragen zu völlig unterschiedlichen Themen in einem einzigen Thread posten - Danke.

Zu 1.)
Tatsächlich bei dem speziellen Benutzer oben bei Benutzergruppe(n) "Moderatoren" angeklickt und unten auf derselben Seite bei Benutzerrang ebenfalls "Moderator"?
Falls ja, sollte in den Beiträgen des Users unter dem Namen auch der Rang und die Ranggrafik angezeigt werden.

Zu 2.)
Konfigurieren Sie für jedes einzelne Unterforum die Zugriffsrechte wie folgt:
Inhalte => Forenverwaltung => Foren auflisten => grünes Stift-Symbol bei einem Forum anklicken => Zugriffsrechte für Benutzer und Gruppen => in das Feld "Hinzufügen" Gäste eintragen => Hinzufügen klicken => es öffnet sich ein Auswahlfenster zur Konfiguration der einzelnen Berechtigungen => Zulassen / Verweigern bei den einzelnen Berechtigungen auswählen => Absenden.
So bitte für jede einzelne Benutzergruppe und für jedes einzelne Forum / Kategorie vorgehen.

Doch, das Zweite funktioniert auch, gehen Sie ganz genau so vor, wie von mir beschrieben, Schritt für Schritt.